Упр.18.49 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$(a+c)(b+d)?\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}\cdot\sqrt{c^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+d^2}$$.

Рассмотрим два неравенства, полученные из неравенства Коши:

$$(ad+bc)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2),$$
откуда
$$ad+bc \le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}.$$

Аналогично,
$$(cd+ba)^2 \le (c^2+b^2)(d^2+a^2),$$
значит
$$cd+ba \le \sqrt{c^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+d^2}.$$

Сложим эти неравенства:

$$(ad+bc)+(cd+ba)\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{c^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+d^2}.$$

Левая часть равна

$$(ad+bc)+(cd+ba)=(a+c)(b+d).$$

Следовательно,

$$(a+c)(b+d)\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{c^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+d^2}.$$

Ответ

$$(a+c)(b+d)\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{c^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+d^2}.$$