Упр.18.49 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

(a+c)(b+d)?v(a^2+b^2)·v(c^2+d^2)·v(c^2+b^2)·v(a^2+d^2).

Рассмотрим два неравенства, полученные из неравенства Коши:

$$ (ad+bc)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2), $$
откуда
$$ ad+bc \le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}. $$

Аналогично,
$$ (cd+ba)^2 \le (c^2+b^2)(d^2+a^2), $$
значит
$$ cd+ba \le \sqrt{c^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+d^2}. $$

Сложим эти неравенства:

$$ (ad+bc)+(cd+ba)\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{c^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+d^2}. $$

Левая часть равна

$$ (ad+bc)+(cd+ba)=(a+c)(b+d). $$

Следовательно,

$$ (a+c)(b+d)\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{c^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+d^2}. $$

Ответ

$$ (a+c)(b+d)\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{c^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+d^2}. $$