Упр.18.48 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Для положительных чисел $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ докажите, что $$\left(a_1+a_2+\ldots+a_n\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\right)\geq n^2.$$

Применим неравенство Коши–Буняковского к числам $$\sqrt{a_1},\sqrt{a_2},\ldots,\sqrt{a_n}$$ и $$\frac{1}{\sqrt{a_1}},\frac{1}{\sqrt{a_2}},\ldots,\frac{1}{\sqrt{a_n}}$$:

$$\left(\sqrt{a_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{a_1}}+\sqrt{a_2}\cdot \frac{1}{\sqrt{a_2}}+\cdots+\sqrt{a_n}\cdot \frac{1}{\sqrt{a_n}}\right)^2 \le \left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right).$$

Левая часть равна

$$(1+1+\cdots+1)^2=n^2.$$

Следовательно,

$$n^2\le \left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right).$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right)\ge n^2.$$