Упр.18.48 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)?n^2.

Применим неравенство Коши–Буняковского к числам $$\sqrt{a_1},\sqrt{a_2},\ldots,\sqrt{a_n}$$ и $$\frac{1}{\sqrt{a_1}},\frac{1}{\sqrt{a_2}},\ldots,\frac{1}{\sqrt{a_n}}$$:

$$ \left(\sqrt{a_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{a_1}}+\sqrt{a_2}\cdot \frac{1}{\sqrt{a_2}}+\cdots+\sqrt{a_n}\cdot \frac{1}{\sqrt{a_n}}\right)^2 \le \left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right). $$

Левая часть равна

$$ (1+1+\cdots+1)^2=n^2. $$

Следовательно,

$$ n^2\le \left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right). $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ \left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right)\ge n^2. $$