Упр.18.47 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a>0$$, $$b>0$$ и $$c>0$$, то $$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 9.$$

Применим неравенство Коши — Буняковского к числам $$\sqrt{a},\ \sqrt{b},\ \sqrt{c}$$ и $$\frac{1}{\sqrt{a}},\ \frac{1}{\sqrt{b}},\ \frac{1}{\sqrt{c}}.$$ Тогда

$$\left(\sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\cdot \frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}\cdot \frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2 \le (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).$$

Левая часть равна

$$(1+1+1)^2=9.$$

Значит,

$$9\le (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).$$

Следовательно,

$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9.$$

Ответ

$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9.$$