Упр.18.47 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.47. Докажите, что если a > 0, b > 0 и c > 0, то (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)?9.

Применим неравенство Коши — Буняковского к числам $$\sqrt{a},\ \sqrt{b},\ \sqrt{c}$$ и $$\frac{1}{\sqrt{a}},\ \frac{1}{\sqrt{b}},\ \frac{1}{\sqrt{c}}.$$ Тогда

$$ \left(\sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\cdot \frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}\cdot \frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2 \le (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right). $$

Левая часть равна

$$ (1+1+1)^2=9. $$

Значит,

$$ 9\le (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right). $$

Следовательно,

$$ (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9. $$

Ответ

$$ (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9. $$