Упр.18.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\geq(a+b+c)^2$$.

По неравенству Коши — Буняковского имеем:

$$\left(a^2\cdot \frac1a+b^2\cdot \frac1b+c^2\cdot \frac1c\right)^2 \le \left(a^4+b^4+c^4\right)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right).$$

Так как

$$a^2\cdot \frac1a+b^2\cdot \frac1b+c^2\cdot \frac1c=a+b+c,$$

то получаем

$$(a+b+c)^2\le \left(a^4+b^4+c^4\right)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right).$$

Следовательно, неравенство доказано.

Ответ

$$(a^4+b^4+c^4)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right)\ge (a+b+c)^2.$$