Упр.18.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.46. Докажите неравенство (a^4+b^4+c^4)(1/a^2+1/b^2+1/c^2)?(a+b+c)^2.

По неравенству Коши — Буняковского имеем:

$$ \left(a^2\cdot \frac1a+b^2\cdot \frac1b+c^2\cdot \frac1c\right)^2 \le \left(a^4+b^4+c^4\right)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right). $$

Так как

$$ a^2\cdot \frac1a+b^2\cdot \frac1b+c^2\cdot \frac1c=a+b+c, $$

то получаем

$$ (a+b+c)^2\le \left(a^4+b^4+c^4\right)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right). $$

Следовательно, неравенство доказано.

Ответ

$$ (a^4+b^4+c^4)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right)\ge (a+b+c)^2. $$