Упр.18.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение выражения $$a^2+b^2$$, если $$5a-12b=13$$.

По неравенству Коши–Буняковского имеем:

$$(5a-12b)^2 \le (5^2+(-12)^2)(a^2+b^2).$$

Так как $$5a-12b=13,$$ то

$$13^2 \le (25+144)(a^2+b^2),$$

$$169 \le 169(a^2+b^2).$$

Следовательно,

$$a^2+b^2 \ge 1.$$

Минимальное значение выражения $$a^2+b^2$$ равно $$1$$.

Ответ

$$1$$