Упр.18.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $$3x+4y$$, если $$x^2+y^2=1$$.

Применим неравенство Коши–Буняковского:

$$(3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(x^2+y^2)$$

Так как $$x^2+y^2=1$$, получаем:

$$(3x+4y)^2 \le (9+16)\cdot 1=25$$

Следовательно,

$$|3x+4y|\le 5$$

Значит,

$$-5\le 3x+4y\le 5$$

Наибольшее значение выражения равно $$5$$, наименьшее — $$-5$$.

Ответ

$$-5;\ 5$$