Упр.18.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Известно, что $$a_1+a_2+\ldots+a_n=n$$. Докажите, что $$a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\ ?\ n$$.

По неравенству Коши–Буняковского имеем:

$$(1\cdot a_1+1\cdot a_2+\dots+1\cdot a_n)^2 \le (1+1+\dots+1)(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2).$$

Так как $$a_1+a_2+\dots+a_n=n,$$ то

$$n^2 \le n(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2).$$

Делим обе части на $$n$$, получаем:

$$a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2 \ge n.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2 \ge n.$$