Упр.18.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.41. Докажите, что если x+y+z=1, то x^2+y^2+z^2?1/3.

По неравенству Коши — Буняковского имеем:

$$ (1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z)^2 \le (1+1+1)(x^2+y^2+z^2). $$

Так как $$x+y+z=1,$$ то

$$ (x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2), $$

$$ 1 \le 3(x^2+y^2+z^2). $$

Следовательно,

$$ x^2+y^2+z^2 \ge \frac13. $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$x^2+y^2+z^2 \ge \frac13.$$