Упр.18.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.40. Докажите, что |av(1-b^2)+bv(1-a^2)|?1.

Применим неравенство Коши—Буняковского к векторам $$\bigl(a,\sqrt{1-a^2}\bigr)$$ и $$\bigl(\sqrt{1-b^2},\,b\bigr).$$ Тогда

$$ \left|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\right|^2 \le \left(a^2+1-a^2\right)\left(1-b^2+b^2\right). $$

Упростим правую часть:

$$ \left(a^2+1-a^2\right)\left(1-b^2+b^2\right)=1\cdot 1=1. $$

Значит,

$$ \left|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\right|^2\le 1, $$

откуда

$$ \left|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\right|\le 1. $$

Ответ

$$\left|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\right|\le 1.$$