Упр.18.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$\left|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\right|\leq 1$$.

Применим неравенство Коши—Буняковского к векторам $$\bigl(a,\sqrt{1-a^2}\bigr)$$ и $$\bigl(\sqrt{1-b^2},\,b\bigr).$$ Тогда

$$\left|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\right|^2 \le \left(a^2+1-a^2\right)\left(1-b^2+b^2\right).$$

Упростим правую часть:

$$\left(a^2+1-a^2\right)\left(1-b^2+b^2\right)=1\cdot 1=1.$$

Значит,

$$\left|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\right|^2\le 1,$$

откуда

$$\left|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\right|\le 1.$$

Ответ

$$\left|a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\right|\le 1.$$