Упр.18.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4$$.

Так как $$a>0$$ и $$b>0,$$ применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом.

Для чисел $$a$$ и $$b$$ имеем:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},$$

откуда

$$a+b\ge 2\sqrt{ab}.$$

Для чисел $$\frac1a$$ и $$\frac1b$$ получаем:

$$\frac{\frac1a+\frac1b}{2}\ge \sqrt{\frac1a\cdot \frac1b}=\sqrt{\frac1{ab}},$$

значит

$$\frac1a+\frac1b\ge 2\sqrt{\frac1{ab}}.$$

Перемножим полученные неравенства:

$$(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{\frac1{ab}}=4.$$

Следовательно,

$$(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4.$$

Ответ

$$(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4.$$