Упр.18.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.38. Докажите, что если a^4+b^4=2, то |a+b|?2.

Рассмотрим неравенство Коши:

$$ (a^2+b^2)^2 \le (1+1)(a^4+b^4). $$

Так как $$a^4+b^4=2,$$ получаем

$$ (a^2+b^2)^2 \le 2\cdot 2=4, $$

значит,

$$ a^2+b^2 \le 2. $$

Теперь применим неравенство Коши ещё раз:

$$ (a+b)^2 \le (1+1)(a^2+b^2). $$

Тогда

$$ (a+b)^2 \le 2(a^2+b^2) \le 4. $$

Следовательно,

$$ |a+b| \le 2. $$

Ответ

$$|a+b|\le 2.$$