Упр.18.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a^4+b^4=2$$, то $$|a+b|\le 2$$.

Рассмотрим неравенство Коши:

$$(a^2+b^2)^2 \le (1+1)(a^4+b^4).$$

Так как $$a^4+b^4=2,$$ получаем

$$(a^2+b^2)^2 \le 2\cdot 2=4,$$

значит,

$$a^2+b^2 \le 2.$$

Теперь применим неравенство Коши ещё раз:

$$(a+b)^2 \le (1+1)(a^2+b^2).$$

Тогда

$$(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2) \le 4.$$

Следовательно,

$$|a+b| \le 2.$$

Ответ

$$|a+b|\le 2.$$