Упр.18.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Известно, что $$a+b=2$$. Докажите, что $$a^4+b^4\ge 2$$.

Из неравенства Коши для чисел $$a^2$$ и $$b^2$$ получаем:

$$(a^2+b^2)^2 \le (1+1)(a^4+b^4)=2(a^4+b^4).$$

С другой стороны, из условия $$a+b=2$$ имеем

$$(a+b)^2=4.$$

По неравенству Коши для чисел $$a$$ и $$b$$:

$$(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2),$$

значит

$$4 \le 2(a^2+b^2), \qquad a^2+b^2 \ge 2.$$

Тогда

$$(a^2+b^2)^2 \ge 4.$$

Следовательно,

$$2(a^4+b^4) \ge (a^2+b^2)^2 \ge 4,$$

откуда

$$a^4+b^4 \ge 2.$$

Ответ

$$a^4+b^4 \ge 2.$$