Упр.18.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.37. Известно, что a+b=2. Докажите, что a^4+b^4?2.

Из неравенства Коши для чисел $$a^2$$ и $$b^2$$ получаем:

$$ (a^2+b^2)^2 \le (1+1)(a^4+b^4)=2(a^4+b^4). $$

С другой стороны, из условия $$a+b=2$$ имеем

$$ (a+b)^2=4. $$

По неравенству Коши для чисел $$a$$ и $$b$$:

$$ (a+b)^2 \le 2(a^2+b^2), $$

значит

$$ 4 \le 2(a^2+b^2), \qquad a^2+b^2 \ge 2. $$

Тогда

$$ (a^2+b^2)^2 \ge 4. $$

Следовательно,

$$ 2(a^4+b^4) \ge (a^2+b^2)^2 \ge 4, $$

откуда

$$ a^4+b^4 \ge 2. $$

Ответ

$$a^4+b^4 \ge 2.$$