Упр.18.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Известно, что $$a+b=1$$. Докажите, что $$a^2+b^2\geq\frac{1}{2}$$.

По неравенству Коши—Буняковского имеем:

$$(1\cdot a+1\cdot b)^2 \le (1+1)(a^2+b^2).$$

Так как $$a+b=1,$$ то

$$(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2),$$

$$1 \le 2(a^2+b^2).$$

Делим обе части на $$2$$:

$$a^2+b^2 \ge \frac12.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$a^2+b^2 \ge \frac12.$$