Упр.18.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.36. Известно, что a+b=1. Докажите, что a^2+b^2?1/2.

По неравенству Коши—Буняковского имеем:

$$ (1\cdot a+1\cdot b)^2 \le (1+1)(a^2+b^2). $$

Так как $$a+b=1,$$ то

$$ (a+b)^2 \le 2(a^2+b^2), $$

$$ 1 \le 2(a^2+b^2). $$

Делим обе части на $$2$$:

$$ a^2+b^2 \ge \frac12. $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$a^2+b^2 \ge \frac12.$$