Упр.18.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

ab+v((1-a^2)(1-b^2))?1.

Так как $$|a|\le 1$$ и $$|b|\le 1,$$ то

$$1-a^2\ge 0,\qquad 1-b^2\ge 0.$$

Применим неравенство Коши:

$$\frac{(1-a^2)+(1-b^2)}{2}\ge \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}.$$

Тогда

$$ab+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\le ab+\frac{(1-a^2)+(1-b^2)}{2}.$$

Упростим правую часть:

$$ab+\frac{2-a^2-b^2}{2}=\frac{2+2ab-a^2-b^2}{2}=\frac{2-(a-b)^2}{2}.$$

Так как $$ (a-b)^2\ge 0,$$ то

$$\frac{2-(a-b)^2}{2}\le \frac{2}{2}=1.$$

Следовательно,

$$ab+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\le 1.$$

Ответ

$$ab+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\le 1.$$