Упр.18.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

(a+1)^2/b+(b+1)^2/a?8.

Для положительных $$a$$ и $$b$$ применим неравенство $$x+\frac{1}{x}\ge 2$$ при $$x>0$$.

Тогда

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$

Кроме того, для любого $$x>0$$ верно:

$$\frac{(x+1)^2}{y}=\frac{x^2+2x+1}{y}\ge \frac{2x}{y}+\frac{2x}{y}=\frac{4x}{y},$$

то есть

$$\frac{(a+1)^2}{b}\ge \frac{4a}{b}, \qquad \frac{(b+1)^2}{a}\ge \frac{4b}{a}.$$

Сложим полученные неравенства:

$$\frac{(a+1)^2}{b}+\frac{(b+1)^2}{a}\ge \frac{4a}{b}+\frac{4b}{a}=4\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge 4\cdot 2=8.$$

Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{(a+1)^2}{b}+\frac{(b+1)^2}{a}\ge 8.$$