Упр.18.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

(a^2+1)/b+(b^2+1)/a?4.

Для положительных чисел $$a$$ и $$b$$ применим неравенство $$x+\frac{1}{x}\ge 2$$ при $$x>0$$.

Положим $$x=\frac{a}{b}$$. Тогда

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$

Теперь оценим каждую дробь в исходном выражении:

$$\frac{a^2+1}{b}=\frac{a^2}{b}+\frac{1}{b}\ge \frac{2a}{b},$$

$$\frac{b^2+1}{a}=\frac{b^2}{a}+\frac{1}{a}\ge \frac{2b}{a}.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$\frac{a^2+1}{b}+\frac{b^2+1}{a}\ge \frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}=2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge 2\cdot 2=4.$$

Следовательно,

$$\frac{a^2+1}{b}+\frac{b^2+1}{a}\ge 4.$$

Ответ

$$\frac{a^2+1}{b}+\frac{b^2+1}{a}\ge 4.$$