Упр.18.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$, $$d>0$$, то $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4$$.

Применим неравенство $$x+y\ge 2\sqrt{xy}$$ к парам положительных чисел.

Тогда

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}}=2\sqrt{\frac{a}{c}},$$

$$\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 2\sqrt{\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{a}}=2\sqrt{\frac{c}{a}}.$$

Сложим полученные неравенства:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{c}}+2\sqrt{\frac{c}{a}}.$$

Теперь снова применим неравенство $$x+y\ge 2\sqrt{xy}$$ к числам $$\sqrt{\frac{a}{c}}$$ и $$\sqrt{\frac{c}{a}}$$:

$$\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\ge 2\sqrt{\sqrt{\frac{a}{c}}\cdot\sqrt{\frac{c}{a}}}=2.$$

Следовательно,

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 2\left(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)\ge 4.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4.$$