Упр.18.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$, то $$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\geq 6$$.

Используем неравенство

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2,$$

которое верно при $$x>0,\ y>0.$$

Применим его к каждой паре положительных чисел:

$$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2,$$

$$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge 2,$$

$$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge 2.$$

Сложим эти неравенства:

$$\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge 2+2+2=6.$$

Перегруппируем слагаемые:

$$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge 6.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge 6.$$