Упр.18.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$(x+y)(xy+16)\geq 16xy$$, где $$x\geq 0$$, $$y\geq 0$$.

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим при $$x \ge 0$$, $$y \ge 0$$ имеем:

$$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy},$$

откуда

$$x+y \ge 2\sqrt{xy}.$$

Аналогично для чисел $$xy$$ и $$16$$:

$$\frac{xy+16}{2} \ge \sqrt{16xy},$$

следовательно,

$$xy+16 \ge 2\sqrt{16xy}=8\sqrt{xy}.$$

Перемножим полученные неравенства:

$$(x+y)(xy+16) \ge 2\sqrt{xy}\cdot 8\sqrt{xy}=16xy.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$(x+y)(xy+16)\ge 16xy$$