Упр.18.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Известно, что $$a_1>0,\ a_2>0,\ \ldots,\ a_n>0,\quad a_1a_2\cdots a_n=1$$. Докажите неравенство $$\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)\cdots\left(1+a_n\right)\ge 2^n$$.

Для любого $$x>0$$ по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим имеем:

$$\frac{1+x}{2}\ge \sqrt{x}.$$

Тогда

$$1+x\ge 2\sqrt{x}.$$

Применим это неравенство к каждому множителю:

$$1+a_1\ge 2\sqrt{a_1},\quad 1+a_2\ge 2\sqrt{a_2},\quad \ldots,\quad 1+a_n\ge 2\sqrt{a_n}.$$

Перемножим полученные неравенства:

$$(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)\ge 2^n\sqrt{a_1a_2\cdots a_n}.$$

Так как по условию $$a_1a_2\cdots a_n=1,$$ то

$$(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)\ge 2^n\sqrt{1}=2^n.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)\cdots\left(1+a_n\right)\ge 2^n.$$