Упр.18.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.28. Найдите наибольшее значение выражения x/(4x^2+3x+1).

Рассмотрим выражение

$$\frac{x}{4x^2+3x+1}.$$

Знаменатель всегда положителен, так как

$$D=3^2-4\cdot 4\cdot 1=9-16=-7<0,$$

а старший коэффициент положителен. Значит, $$4x^2+3x+1>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Применим неравенство Коши:

$$4x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{4x\cdot \frac{1}{x}}=4,$$

откуда

$$4x+\frac{1}{x}\ge 4.$$

Тогда

$$4x^2+3x+1=x\left(4x+\frac{1}{x}+3\right)\ge x(4+3)=7x.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{4x^2+3x+1}\le \frac{x}{7x}=\frac17.$$

Равенство достигается при $$4x+\frac{1}{x}=4,$$ то есть при $$x=\frac12.$$

Ответ

$$\frac17$$