Упр.18.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее значение выражения $$\frac{x}{9x^2+1}$$, если $$x>0$$.

При $$x>0$$ применим неравенство Коши:

$$9x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{9x\cdot \frac{1}{x}}=2\cdot 3=6.$$

Тогда

$$9x+\frac{1}{x}\ge 6.$$

Умножим обе части на $$x>0$$:

$$9x^2+1\ge 6x.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{9x^2+1}\le \frac{x}{6x}=\frac16.$$

Равенство достигается при $$9x=\frac{1}{x}$$, то есть при $$9x^2=1$$, откуда $$x=\frac13.$$

Ответ

$$\frac16$$