Упр.18.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.27. Найдите наибольшее значение выражения x/(9x^2+1), если x > 0.

При $$x>0$$ применим неравенство Коши:

$$9x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{9x\cdot \frac{1}{x}}=2\cdot 3=6.$$

Тогда

$$9x+\frac{1}{x}\ge 6.$$

Умножим обе части на $$x>0$$:

$$9x^2+1\ge 6x.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{9x^2+1}\le \frac{x}{6x}=\frac16.$$

Равенство достигается при $$9x=\frac{1}{x}$$, то есть при $$9x^2=1$$, откуда $$x=\frac13.$$

Ответ

$$\frac16$$