Упр.18.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.26. Известно, что x > 0. Найдите наименьшее значение выражения (x^2+10x+16)/x.

Преобразуем выражение:

$$\frac{x^2+10x+16}{x}=x+10+\frac{16}{x}, \quad x>0.$$

По неравенству Коши для положительных чисел $$x$$ и $$\frac{16}{x}$$ имеем:

$$x+\frac{16}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{16}{x}}=2\sqrt{16}=8.$$

Тогда

$$x+10+\frac{16}{x}\ge 8+10=18.$$

Равенство достигается при

$$x=\frac{16}{x}, \quad x^2=16, \quad x=4$$

(так как $$x>0$$).

Ответ

$$18$$