Упр.18.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение выражения $$x^2+\frac{16}{x^2}$$.

Рассмотрим выражение $$x^2+\frac{16}{x^2}.$$

По неравенству Коши для положительных чисел $$x^2$$ и $$\frac{16}{x^2}$$ имеем:

$$x^2+\frac{16}{x^2}\ge 2\sqrt{x^2\cdot \frac{16}{x^2}}.$$

Упростим правую часть:

$$2\sqrt{x^2\cdot \frac{16}{x^2}}=2\sqrt{16}=2\cdot 4=8.$$

Значит,

$$x^2+\frac{16}{x^2}\ge 8.$$

Равенство достигается при $$x^2=\frac{16}{x^2},$$ то есть при $$x^4=16,$$ откуда $$x^2=4$$ и $$x=\pm 2.$$

Ответ

$$8$$