Упр.18.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$a>0$$, $$b>0$$ и $$3a+4b=24$$. Найдите наибольшее значение выражения $$ab$$.

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел имеем:

$$\frac{3a+4b}{2}\ge \sqrt{3a\cdot 4b}.$$

Так как $$3a+4b=24,$$ то

$$\frac{24}{2}\ge \sqrt{12ab}$$

$$12\ge \sqrt{12ab}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$144\ge 12ab$$

$$ab\le 12.$$

Значит, наибольшее значение выражения $$ab$$ равно $$12$$.

Ответ

$$12$$