Упр.18.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее значение выражения $$xy$$, если $$x>0$$, $$y>0$$ и $$x+3y=6$$.

По неравенству Коши для положительных чисел $$x$$ и $$3y$$ имеем:

$$\frac{x+3y}{2}\ge \sqrt{x\cdot 3y}.$$

Так как $$x+3y=6$$, то

$$\frac{6}{2}\ge \sqrt{3xy},$$

$$3\ge \sqrt{3xy},$$

$$9\ge 3xy,$$

$$xy\le 3.$$

Равенство достигается при $$x=3y$$. Из условия $$x+3y=6$$ получаем:

$$3y+3y=6,$$

$$6y=6,$$

$$y=1,\quad x=3.$$

Тогда $$xy=3$$.

Ответ

$$3$$