Упр.18.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение выражения $$5a+2b$$, если $$a>0$$ и $$ab=10$$.

Так как $$a>0$$ и $$ab=10,$$ то $$5a>0$$ и $$2b>0.$$ Применим неравенство Коши:

$$\frac{5a+2b}{2}\ge \sqrt{5a\cdot 2b}.$$

Тогда

$$5a+2b\ge 2\sqrt{5a\cdot 2b}=2\sqrt{10ab}.$$

Подставим $$ab=10$$:

$$5a+2b\ge 2\sqrt{10\cdot 10}=2\cdot 10=20.$$

Равенство достигается при $$5a=2b,$$ значит найденная нижняя граница является наименьшим значением выражения.

Ответ

$$20$$