Упр.18.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.21. Известно, что x > 0 и xy=12. Найдите наименьшее значение выражения x+3y.

Так как $$x>0$$ и $$xy=12,$$ то $$3y>0.$$ Применим неравенство Коши:

$$\frac{x+3y}{2}\ge \sqrt{x\cdot 3y}.$$

Тогда

$$x+3y\ge 2\sqrt{3xy}=2\sqrt{3\cdot 12}=2\sqrt{36}=12.$$

Равенство достигается при $$x=3y.$$ Совместно с условием $$xy=12$$ получаем:

$$x=3y,\quad 3y^2=12,\quad y=2,\quad x=6.$$

Следовательно, наименьшее значение выражения $$x+3y$$ равно $$12$$.

Ответ

$$12$$