Упр.18.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Переменные $$x$$ и $$y$$ принимают положительные значения, и их сумма постоянна. Докажите, что их произведение будет наибольшим тогда и только тогда, когда эти числа равны.

Так как $$x>0$$ и $$y>0$$, применим неравенство Коши:

$$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}.$$

Отсюда

$$x+y\ge 2\sqrt{xy}.$$

Поскольку сумма $$x+y$$ постоянна, то величина $$\sqrt{xy}$$, а значит и произведение $$xy$$, будет наибольшей тогда, когда в неравенстве достигается равенство:

$$x+y=2\sqrt{xy}.$$

Преобразуем:

$$x-2\sqrt{xy}+y=0,$$

$$\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x}=\sqrt{y},$$

то есть

$$x=y.$$

Значит, при постоянной сумме положительных чисел их произведение наибольшее тогда и только тогда, когда эти числа равны.

Ответ

$$xy$$ наибольшее при $$x=y$$.