Упр.18.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Дано: $$a^2+b^2+c^2=1$$, $$x^2+y^2+z^2=3$$. Докажите, что $$-\sqrt{3}\le ax+by+cz\le\sqrt{3}$$.

По неравенству Коши—Буняковского имеем:

$$(ax+by+cz)^2 \le (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2).$$

Подставим данные значения:

$$(ax+by+cz)^2 \le 1 \cdot 3 = 3.$$

Следовательно,

$$|ax+by+cz| \le \sqrt{3}.$$

Отсюда получаем двойное неравенство:

$$-\sqrt{3} \le ax+by+cz \le \sqrt{3}.$$

Ответ

$$-\sqrt{3} \le ax+by+cz \le \sqrt{3}$$