Упр.18.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Для положительных чисел $$x$$ и $$y$$ докажите неравенство $$\frac{3x}{y}+\frac{y}{27x}\geq\frac{2}{3}$$.

Так как $$x>0$$ и $$y>0,$$ применим неравенство Коши для двух положительных чисел:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$

Положим

$$a=\frac{3x}{y}, \qquad b=\frac{y}{27x}.$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{y}+\frac{y}{27x}\right)\ge \sqrt{\frac{3x}{y}\cdot \frac{y}{27x}}.$$

Вычислим правую часть:

$$\sqrt{\frac{3x}{y}\cdot \frac{y}{27x}}=\sqrt{\frac{3}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{y}+\frac{y}{27x}\right)\ge \frac{1}{3},$$

откуда

$$\frac{3x}{y}+\frac{y}{27x}\ge \frac{2}{3}.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{3x}{y}+\frac{y}{27x}\ge \frac{2}{3}.$$