Упр.18.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Переменные $$x$$ и $$y$$ принимают положительные значения, и их произведение постоянно. Докажите, что их сумма будет наименьшей тогда и только тогда, когда эти числа равны.

Так как $$x>0$$ и $$y>0$$, применим неравенство Коши:

$$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}.$$

Отсюда

$$x+y\ge 2\sqrt{xy}.$$

Поскольку произведение $$xy$$ постоянно, правая часть тоже постоянна. Значит, сумма $$x+y$$ не может быть меньше $$2\sqrt{xy}$$.

Равенство в неравенстве Коши достигается тогда и только тогда, когда

$$x=y.$$

Следовательно, при постоянном произведении $$xy$$ сумма $$x+y$$ наименьшая именно тогда, когда числа равны.

Ответ

$$x+y$$ наименьшая тогда и только тогда, когда $$x=y$$.