Упр.18.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Дано: $$a^2+b^2+c^2=1$$, $$x^2+y^2+z^2=1$$. Докажите, что $$-1\leq ax+by+cz\leq 1$$.

По неравенству Коши—Буняковского имеем:

$$(ax+by+cz)^2 \le (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2).$$

Так как по условию $$a^2+b^2+c^2=1$$ и $$x^2+y^2+z^2=1,$$ то

$$(ax+by+cz)^2 \le 1\cdot 1=1.$$

Следовательно,

$$|ax+by+cz|\le 1.$$

Отсюда получаем:

$$-1\le ax+by+cz\le 1.$$

Ответ

$$-1\le ax+by+cz\le 1.$$