Упр.18.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.16. Докажите неравенство v(1+a^2)·v(1+b^2)?|1+ab|.

По неравенству Коши–Буняковского имеем:

$$ (1\cdot 1+ab)^2 \le (1+a^2)(1+b^2). $$

Тогда

$$ (1+ab)^2 \le (1+a^2)(1+b^2). $$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$$ |1+ab| \le \sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}=\sqrt{1+a^2}\cdot\sqrt{1+b^2}. $$

Следовательно,

$$ \sqrt{1+a^2}\cdot\sqrt{1+b^2}\ge |1+ab|. $$

Ответ

$$\sqrt{1+a^2}\cdot\sqrt{1+b^2}\ge |1+ab|.$$