Упр.18.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$\sqrt{1+a^2}\cdot\sqrt{1+b^2}\geq |1+ab|$$.

По неравенству Коши–Буняковского имеем:

$$(1\cdot 1+ab)^2 \le (1+a^2)(1+b^2).$$

Тогда

$$(1+ab)^2 \le (1+a^2)(1+b^2).$$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$$|1+ab| \le \sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}=\sqrt{1+a^2}\cdot\sqrt{1+b^2}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{1+a^2}\cdot\sqrt{1+b^2}\ge |1+ab|.$$

Ответ

$$\sqrt{1+a^2}\cdot\sqrt{1+b^2}\ge |1+ab|.$$