Упр.18.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Известно, что $$a^2+b^2=1$$, $$c^2+d^2=1$$. Докажите, что $$|ac-bd|\leqslant 1$$.

По неравенству Коши–Буняковского имеем:

$$(ac-bd)^2=(ac+(-bd))^2\le (a^2+(-b)^2)(c^2+d^2).$$

Так как $$a^2+b^2=1$$ и $$c^2+d^2=1,$$ то

$$(ac-bd)^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)=1\cdot 1=1.$$

Следовательно,

$$|ac-bd|=\sqrt{(ac-bd)^2}\le 1.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$|ac-bd|\le 1$$