Упр.18.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.15. Известно, что a^2+b^2=1, c^2+d^2=1. Докажите, что |ac-bd|?1.

По неравенству Коши–Буняковского имеем:

$$ (ac-bd)^2=(ac+(-bd))^2\le (a^2+(-b)^2)(c^2+d^2). $$

Так как $$a^2+b^2=1$$ и $$c^2+d^2=1,$$ то

$$ (ac-bd)^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)=1\cdot 1=1. $$

Следовательно,

$$ |ac-bd|=\sqrt{(ac-bd)^2}\le 1. $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$|ac-bd|\le 1$$