Упр.18.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.13. Докажите неравенство a^2+b^2+1/(a^2+2)+1/(b^2+1) > 1.

Рассмотрим два неравенства:

$$a^2+\frac{1}{a^2+2}>0,$$
$$b^2+\frac{1}{b^2+1}\ge 1.$$

Первое неравенство верно, так как $$a^2\ge 0$$ и $$\frac{1}{a^2+2}>0$$.

Для второго неравенства применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$b^2+1+\frac{1}{b^2+1}\ge 2,$$
откуда
$$b^2+\frac{1}{b^2+1}\ge 1.$$

Теперь сложим полученные неравенства:

$$a^2+\frac{1}{a^2+2}+b^2+\frac{1}{b^2+1}>1.$$

Следовательно, данное неравенство доказано.

Ответ

$$a^2+b^2+\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+1}>1.$$