Упр.18.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.12. Докажите неравенство x^2+1/(x^2+1)?1.

Рассмотрим выражение

$$x^2+\frac{1}{x^2+1}.$$

По неравенству Коши для положительных чисел $$x^2+1$$ и $$\frac{1}{x^2+1}$$ имеем:

$$ (x^2+1)+\frac{1}{x^2+1}\ge 2\sqrt{(x^2+1)\cdot \frac{1}{x^2+1}}=2. $$

Тогда

$$ x^2+\frac{1}{x^2+1}\ge 1. $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$x^2+\frac{1}{x^2+1}\ge 1.$$