Упр.18.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$x^2+\frac{1}{x^2+1}\ge 1$$.

Рассмотрим выражение

$$x^2+\frac{1}{x^2+1}.$$

По неравенству Коши для положительных чисел $$x^2+1$$ и $$\frac{1}{x^2+1}$$ имеем:

$$(x^2+1)+\frac{1}{x^2+1}\ge 2\sqrt{(x^2+1)\cdot \frac{1}{x^2+1}}=2.$$

Тогда

$$x^2+\frac{1}{x^2+1}\ge 1.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$x^2+\frac{1}{x^2+1}\ge 1.$$