Упр.18.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.11. При a > 0 докажите неравенство 2(a+1/a)+a^2?4a.

При $$a>0$$ применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\ge \sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}=1,$$

откуда

$$a+\frac{1}{a}\ge 2.$$

Тогда

$$2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2\ge 2\cdot 2+a^2=4+a^2.$$

Так как $$a>0,$$ то $$a^2\ge 0,$$ значит

$$4+a^2\ge 4a$$

не всегда верно, поэтому используем более точную оценку:

$$2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2-4a=a^2-4a+2a+\frac{2}{a}=a^2-2a+\frac{2}{a}.$$

Сгруппируем иначе:

$$2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2-4a=(a-2)^2+2\left(\frac{1}{a}-1\right)+2.$$

Но удобнее заметить, что

$$a+\frac{1}{a}\ge 2,$$

следовательно

$$2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2\ge 4+a^2\ge 4a,$$

так как

$$a^2-4a+4=(a-2)^2\ge 0.$$

Значит, исходное неравенство верно.

Ответ

$$2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2\ge 4a.$$