Упр.18.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.10. Докажите неравенство (a^2+2)/v(a^2+1)?2.

Рассмотрим неравенство

$$\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}} \ge 2.$$

По неравенству Коши для положительных чисел $$a^2+1$$ и $$1$$ имеем:

$$\frac{(a^2+1)+1}{2} \ge \sqrt{(a^2+1)\cdot 1}.$$

Тогда

$$a^2+2 \ge 2\sqrt{a^2+1}.$$

Так как $$\sqrt{a^2+1} > 0$$, разделим обе части на $$\sqrt{a^2+1}$$:

$$\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}} \ge 2.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}} \ge 2.$$