Упр.18.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

a/(16b)+(25b)/a?5/2.

Применим неравенство Коши для двух положительных чисел:

$$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}.$$

Положим

$$x=\frac{a}{16b}, \qquad y=\frac{25b}{a}.$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\left(\frac{a}{16b}+\frac{25b}{a}\right)\ge \sqrt{\frac{a}{16b}\cdot \frac{25b}{a}}.$$

Вычислим правую часть:

$$\sqrt{\frac{a}{16b}\cdot \frac{25b}{a}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{2}\left(\frac{a}{16b}+\frac{25b}{a}\right)\ge \frac{5}{4},$$

откуда

$$\frac{a}{16b}+\frac{25b}{a}\ge \frac{5}{2}.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{a}{16b}+\frac{25b}{a}\ge \frac{5}{2}.$$