Упр.17.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.9. Докажите, что если a < b < c, то a < (a+b+c)/3 < c.

Из условия $$a<b<c$$ следует, что

$$a<b,\quad b<c.$$

Сложим эти неравенства:

$$a+b<b+c,$$

откуда

$$a+c<2b.$$

Теперь сложим все три неравенства $$a<b$$, $$b<c$$ и $$a<c$$:

$$a+b+a<b+c+c,$$

то есть

$$2a+b<b+2c.$$

Но удобнее сразу сравнить среднее арифметическое с концами промежутка.

Так как $$a<b<c$$, то

$$a+a+a<a+b+c<c+c+c.$$

Следовательно,

$$3a<a+b+c<3c.$$

Делим все части неравенства на $$3$$:

$$a<\frac{a+b+c}{3}<c.$$

Ответ

$$a<\frac{a+b+c}{3}<c.$$