Упр.17.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}$$.

Рассмотрим разность:

$$\frac{1}{2}-\frac{a^2}{a^4+1}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{2}-\frac{a^2}{a^4+1}=\frac{a^4+1-2a^2}{2(a^4+1)}$$

Преобразуем числитель:

$$a^4+1-2a^2=(a^2-1)^2$$

Тогда

$$\frac{1}{2}-\frac{a^2}{a^4+1}=\frac{(a^2-1)^2}{2(a^4+1)}$$

Так как $$\,(a^2-1)^2\ge 0\,$$ и $$\,a^4+1>0\,$$ при любом $$a$$, то

$$\frac{(a^2-1)^2}{2(a^4+1)}\ge 0.$$

Следовательно,

$$\frac{a^2}{a^4+1}\le \frac{1}{2}.$$

Ответ

$$\frac{a^2}{a^4+1}\le \frac{1}{2}.$$