Упр.17.66 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.66. Найдите все значения параметра a, при которых сумма корней уравнения x^2-(a^2-5a)x+5a-1=0 равна —6.

По теореме Виета сумма корней уравнения

$$x^2-(a^2-5a)x+5a-1=0$$

равна

$$x_1+x_2=a^2-5a.$$

По условию эта сумма равна $$-6$$, значит

$$a^2-5a=-6,$$

$$a^2-5a+6=0,$$

$$D=25-24=1.$$

Тогда

$$a_{1,2}=\frac{5\pm1}{2},$$

откуда

$$a_1=2,\quad a_2=3.$$

Проверим оба значения.

1) При $$a=2$$:

$$x^2-(2^2-5\cdot2)x+5\cdot2-1=0,$$

$$x^2+6x+9=0,$$

$$\left(x+3\right)^2=0,$$

корень $$x=-3$$, сумма корней равна $$-6$$.

2) При $$a=3$$:

$$x^2-(3^2-5\cdot3)x+5\cdot3-1=0,$$

$$x^2+6x+14=0,$$

$$D=36-56=-20<0,$$

действительных корней нет, значит это значение не подходит.

Ответ

$$a=2$$