Упр.17.65 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.65. Решите уравнение (x^2-x+1)^4-10x^2 (x^2-x+1)^2+9x^4=0.

Обозначим $$t=(x^2-x+1)^2.$$ Тогда уравнение примет вид

$$t^2-10x^2t+9x^4=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$t$$:

$$t^2-10x^2t+9x^4=(t-x^2)(t-9x^2)=0.$$

Значит,

$$ (x^2-x+1)^2=x^2 \quad \text{или} \quad (x^2-x+1)^2=9x^2.$$

1) $$ (x^2-x+1)^2=x^2 $$

$$x^2-x+1=\pm x.$$

Если $$x^2-x+1=x,$$ то

$$x^2-2x+1=0,$$

$$ (x-1)^2=0,$$

$$x=1.$$

Если $$x^2-x+1=-x,$$ то

$$x^2+1=0,$$

действительных корней нет.

2) $$ (x^2-x+1)^2=9x^2 $$

$$x^2-x+1=\pm 3x.$$

Если $$x^2-x+1=3x,$$ то

$$x^2-4x+1=0,$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=2\pm\sqrt{3}.$$

Если $$x^2-x+1=-3x,$$ то

$$x^2+2x+1=0,$$

$$ (x+1)^2=0,$$

$$x=-1.$$

Проверяем найденные значения: все они подходят.

Ответ

$$-1;\ 1;\ 2-\sqrt{3};\ 2+\sqrt{3}.$$