Упр.17.64 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1/(v1+v2)+1/(v3+v4)+…+1/(v(2n-1)+v(2n)) < v(2n)/2, где n?N.

Обозначим

$$ A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}}, $$
$$ B=1+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n-2}+\sqrt{2n-1}}. $$

Используем формулу

$$ \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k-(k+1)}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}. $$

Тогда

$$ A+B=1+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}}. $$

Преобразуем сумму:

$$ A+B=1+(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{2n}-\sqrt{2n-1})=\sqrt{2n}. $$

Так как все слагаемые в $B$ больше соответствующих слагаемых в $A$, то $A<B$. Следовательно,

$$ 2A<A+B=\sqrt{2n}, $$
откуда

$$ A<\frac{\sqrt{2n}}{2}. $$

Итак,

$$ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}}<\frac{\sqrt{2n}}{2}. $$

Ответ

$$ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}}<\frac{\sqrt{2n}}{2}. $$