Упр.17.63 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$\frac{1}{v_1+v_2}+\frac{1}{v_3+v_4}+\dots+\frac{1}{v_{2n-1}+v_{2n}}>\frac{v_{2n+1}-1}{2}$$, где $$n\in\mathbb{N}$$.

Обозначим

$$A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}},$$
$$B=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}}.$$

Тогда

$$A+B=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}}.$$

Преобразуем каждый член суммы:

$$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} =\sqrt{k+1}-\sqrt{k}.$$

Значит,

$$A+B=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}) =\sqrt{2n+1}-1.$$

Так как все слагаемые в сумме $$A$$ и $$B$$ положительны, а в $$A$$ стоят только члены с меньшими знаменателями, чем в $$B$$, то $$A>B.$$ Следовательно,

$$2A>A+B,$$
откуда
$$A>\frac{A+B}{2}=\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}.$$

Итак,

$$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} >\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}.$$

Ответ

$$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} >\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}.$$