Упр.17.63 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1/(v1+v2)+1/(v3+v4)+…+1/(v(2n-1)+v(2n)) > (v(2n+1)-1)/2, где n?N.

Обозначим

$$ A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}}, $$
$$ B=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}}. $$

Тогда

$$ A+B=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}}. $$

Преобразуем каждый член суммы:

$$ \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} =\sqrt{k+1}-\sqrt{k}. $$

Значит,

$$ A+B=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}) =\sqrt{2n+1}-1. $$

Так как все слагаемые в сумме $A$ и $B$ положительны, а в $A$ стоят только члены с меньшими знаменателями, чем в $B$, то $$A>B.$$ Следовательно,

$$ 2A>A+B, $$
откуда
$$ A>\frac{A+B}{2}=\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}. $$

Итак,

$$ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} >\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}. $$

Ответ

$$ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} >\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}. $$