Упр.17.62 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}>\frac{1}{2\sqrt{n}}$$, где $$n\in\mathbb{N}$$, $$n>1$$.

Обозначим

$$A=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n},$$

$$B=\frac12\cdot\frac23\cdot\frac45\cdot\dots\cdot\frac{2n-2}{2n-1}.$$

Тогда

$$AB=\left(\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n}\right)\left(\frac12\cdot\frac23\cdot\frac45\cdot\dots\cdot\frac{2n-2}{2n-1}\right).$$

После перемножения и сокращения получаем

$$AB=\frac14\cdot\frac24\cdot\frac46\cdot\dots\cdot\frac{2n-2}{2n}=\frac{1}{4n}.$$

Теперь сравним $$A$$ и $$B$$:

$$\frac{A}{B}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{7}{6}\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n-2}.$$

Каждый множитель в этом произведении больше $$1$$, значит

$$\frac{A}{B}>1,$$

то есть $$A>B.$$

Так как $$A>B$$ и $$A,B>0$$, то

$$A^2>AB.$$

Следовательно,

$$A>\sqrt{AB}=\sqrt{\frac{1}{4n}}=\frac{1}{2\sqrt{n}}.$$

Итак,

$$\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n}>\frac{1}{2\sqrt{n}}.$$

Ответ

Неравенство доказано.