Упр.17.61 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.61. Докажите неравенство 1/2·3/4·5/6·…·(2n-1)/(2n) < 1/v(2n+1), где n?N.

Обозначим

$$A=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n}, \qquad B=\frac23\cdot\frac45\cdot\frac67\cdot\dots\cdot\frac{2n}{2n+1}.$$

Тогда

$$AB=\frac12\cdot\frac23\cdot\frac34\cdot\frac45\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n}{2n+1}=\frac1{2n+1}.$$

Сравним $A$ и $B$:

$$\frac AB=\frac12\cdot\frac32\cdot\frac34\cdot\frac54\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n}.$$

Каждый множитель в этой записи меньше $1$, значит

$$\frac AB<1,$$

то есть $$A<B.$$

Тогда

$$A^2<AB=\frac1{2n+1}.$$

Так как $A>0$, получаем

$$A<\sqrt{AB}=\frac1{\sqrt{2n+1}}.$$

Следовательно,

$$\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{2n+1}}.$$

Ответ

Неравенство доказано.