Упр.17.61 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$$, где $$n\in\mathbb{N}$$.

Обозначим

$$A=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n}, \qquad B=\frac23\cdot\frac45\cdot\frac67\cdot\dots\cdot\frac{2n}{2n+1}.$$

Тогда

$$AB=\frac12\cdot\frac23\cdot\frac34\cdot\frac45\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n}{2n+1}=\frac1{2n+1}.$$

Сравним $$A$$ и $$B$$:

$$\frac AB=\frac12\cdot\frac32\cdot\frac34\cdot\frac54\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n}.$$

Каждый множитель в этой записи меньше $$1$$, значит

$$\frac AB<1,$$

то есть $$A<B.$$

Тогда

$$A^2<AB=\frac1{2n+1}.$$

Так как $$A>0$$, получаем

$$A<\sqrt{AB}=\frac1{\sqrt{2n+1}}.$$

Следовательно,

$$\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdot\dots\cdot\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{2n+1}}.$$

Ответ

Неравенство доказано.