Упр.17.60 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.60. Докажите неравенство 1/2^2+1/3^2+…+1/(n+1)^2 < 1, где n?N.

Рассмотрим вспомогательное неравенство для любого $$k \in \mathbb{N}$$:

$$k^2-k<k^2,$$

откуда

$$k(k-1)<k^2.$$

Тогда

$$\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k+1)}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2}<\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}.$$

Обозначим правую часть через $$S$$:

$$S=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}.$$

Разложим каждую дробь:

$$S=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac{1}{n+1}\right).$$

После сокращения получаем:

$$S=1-\frac{1}{n+1}<1.$$

Значит,

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2}<1.$$

Ответ

Неравенство доказано.