Упр.17.59 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq(a+b+c+d)e$$.

Преобразуем левую часть неравенства:

$$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-(a+b+c+d)e$$

Сгруппируем слагаемые и дополним до квадратов:

$$(a^2-ae+\frac14e^2)+(b^2-be+\frac14e^2)+(c^2-ce+\frac14e^2)+(d^2-de+\frac14e^2)\ge 0$$

Тогда

$$\left(a-\frac12e\right)^2+\left(b-\frac12e\right)^2+\left(c-\frac12e\right)^2+\left(d-\frac12e\right)^2\ge 0.$$

Сумма квадратов неотрицательна при любых значениях переменных, значит исходное неравенство верно.

Ответ

$$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge (a+b+c+d)e.$$